Qu'est-ce qu'un plan (en maths) ?

Lors de la première séance sur les premières notions de géométrie, j'ai posé la question suivante :
"Qu'est-ce qu'un plan ?
- Ça sert à se repérer pour aller quelque part.
- Oui, c'est vrai. Mais je voulais dire : qu'est-ce qu'un plan en maths, en géométrie ?"
 J'aurai dû m'attendre à une telle réponse ... mais non, je ne l'avais pas anticipé. Et soudainement, toutes les mains levées se sont baissées. 

Comment définir un plan au collège ?
Jusqu'à présent, je donnais l'idée générale de ce qu'était un plan : le tableau et une feuille de papier sont des plans. Un plan est une feuille de papier illimitée.
Mais comment en donner une définition plus rigoureuse (enfin, si cela est possible). 
On m'avait proposé cette définition : Un plan est un espace à deux dimensions qui a une largeur et une longueur mais pas d'épaisseur*. 
Mais finalement, je ne suis pas encore convaincue. En effet, quand on parle de largeur et de longueur, il faut en plus qu'elles soient infinies.  Des élèves de 6e peuvent-ils concevoir des largeurs et des longueurs infinies ?

* Après une petite recherche, d'après Wikipédia (Article Plan (mathématiques)) : 
Définition d'Adrien-Marie Legendre dans ses Éléments de Géométrie (1790) :

Une surface est ce qui a longueur et largeur, sans hauteur ni épaisseur. Le plan est une surface, dans laquelle, prenant deux points à volonté et joignant ces deux points par une ligne droite, cette ligne est entièrement dans la surface.