Quelle définition pour les angles ?

On nous demande de définir les différents objets mathématiques que l'on utilise en classe. Mais parfois, nous n'en avons pas les outils pour les définir correctement à un certain niveau donné.

Comment définir un angle ?
Il y a quelques années, les formateurs (en tout cas, ceux qui animaient les formations auquelles j'ai assisté) étaient partisans de ne pas donner de définition pour la notion d'angle. 
On nous avait préconisé ceci (sans écrire définition) :

Deux demi-droites de même origine définissent deux angles.

L'année dernière, ma tutrice m'avait conseillé la définition suivante (que j'ai gardé cette année):

Un angle est une partie du plan délimité par deux demi-droites de même origine.

Comment définir un angle aigu ?
La réponse est facile :

un angle aigu est un angle dont sa mesure est comprise entre 0° et 90°. 

Mais ... comment définir un angle aigu sans utiliser sa mesure ? (et par conséquent, comment définir un angle obtus ?)
Très souvent, je lis ceci (à quelques mots près):

Plus petit qu'un angle droit ... plus grand qu'un angle droit  ... qu'est-ce que cela veut bien vouloir dire ?

Il en va de soi, pour nous adulte, que cela fait référence à l'ouverture/l'écart entre les deux demi-droites de même origine qui est plus petit ou plus grand que celui d'un angle droit. 
En mathématique, quand on dit "plus petit que" ou "plus grand que", on fait référence à des longueurs (la plupart du temps). Les élèves pensent souvent que la mesure d'un angle dépend de la longueur de ses côtés. L'utilisation de ce type d'expressions pourrait participer à une mauvaise construction mentale de la mesure d'un angle. 

J'ai donc fait le choix suivant :

Un angle aigu est un angle "qui peut être contenu dans un angle droit".
Un angle obtus est un angle "qui ne peut pas être contenu dans un angle droit".